機械学習のための数学基礎の基礎まとめ【直線の１次式と放物線の２次式】

最近激アツな人工知能、機械学習、ディープラーニングを勉強しよう！！！

でも、結局数学の知識が足りず、数式の意味が分からず付いていけなくなり妥協してしまった。。。。

今回は、このような方のために機械学習のための数学の基礎の基礎である１次式と２次式についてまとめました。

この記事を書いている僕はシステムエンジニア６年目

普段はJavaでWebアプリを作ったりSQL書いたり・・・、

なので最近流行りのPython、数学、人工知能、デープラーニングができる人には正直憧れています。。。。

自分も一から勉強してこの辺りできるようになりたい、、画像認識モデルを作ったりして、アプリに組み込みたい！

これが機械学習、深層学習の勉強を始めたきっかけでした。

体系的に、この分野の基礎から学ぼうとJDLAのG検定の勉強をして合格するところまでいきました。

次のステップとして、

実際にPythonでコードを書きながら機械学習や深層学習の知識を深めようと考え、これら買って勉強してみたのですが、、、

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学生時代に勉強したはずの数学を忘れてしまっていて、機械学習の勉強以前にでつまずきました。。。

今回は、機械学習とディープラーニングの勉強をしていて、

復習が必要と感じた部分、抑えておくべきと感じた数学の基礎である１次式と２次式についてまとめてみました。

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１次式と２次式
- 一次式の定義とグラフ
- ２次式の定義とグラフ
まとめ

１次式と２次式

一次式の定義とグラフ

まず、$ x$についての１次式の定義を確認しましょう。

【定義】　$ x$についての１次式

$$ax + b(ただしa \neq 0)$$

上の式において、

$ ax$、$ b$を項といい、

複数の項でできている式なので多項式といいます。

また、$ x$についての式なので$ x$が変数、$ a$、$ b$が定数になります。

各項の$ x$についての次数を数えると、$ ax$は次数１、$ b$は次数０となります。各項の最大次数は１なので、上の式を１次式と呼びます。

では、１次式のグラフを見てみましょう。

$ y = ax + b(a > 0 )$のグラフ

グラフの特徴は直線になっていることです。

また、係数$ a$は直線の傾きを、$ b$は$ x = 0$の時の$ y$の値である切片を表しています。

また、$ a < 0$のグラフでは直線の傾きは逆になります。

$ y = ax + b(a < 0 )$のグラフ

２次式の定義とグラフ

次に、$ x$についての２次式の定義を確認しましょう。

【定義】　$ x$についての２次式

$$ax^{2} + bx + c(ただしa \neq 0)$$

復習になりますが上の式において、

$ ax^{2}$、$ bx$、$ c$が項の多項式で、

$ ax^{2}$が次数２で最大次数隣２次式となります。

では、２次式のグラフを見てみましょう。

$ y = ax^{2} + bx + c(a > 0 )$のグラフ

２次式のグラフの特徴は放物線になることです。

上のグラフでは下に凸の放物線になっていると思います。

逆に$ y = ax^{2} + bx + c(a < 0 )$のグラフは下に凸のグラフになります。

ここまで、１次式と２次式についてみてきました。

次は$ n$次式についての定義を確認しましょう。

【定義】　$ x$についての$ n$次式

$$a_0x^{n} + a_1x^{n-1} + a_2x^{n-2} +・・・ + a_{n-1}x + a_n(ただしa_0 \neq 0)$$

$ a_0$ ~ $a_n$は全て定数です。

例えば$ n = 4$とすると、式は$ a_0x^{4} + a_1x^{3} + a_2x^{2} + a_3x + a_4$となります。

ちなみにグラフを書いたらこんな感じになりました。

おまけですが、

１次式のグラフを描画したPythonのソースコードは以下です。

python

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# データの作成
x = np.arange(-1, 5, 1) # −１から４まで1刻みで生成

a = 2
b = 3


y = a*x + b

# グラフの描画
plt.plot(x, y, marker="o", label = "y = ax + b(a = -2, b = 3)")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("y")
plt.title("y = ax + b")
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.show()