機械学習のための数学基礎の基礎まとめ【平方根と累乗根】

この記事を読むのに必要な時間は約 13 分です。

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最近激アツな人工知能、機械学習、ディープラーニングを勉強しよう!!!

でも、結局数学の知識が足りず、数式の意味が分からず付いていけなくなり妥協してしまった。。。。

 

今回は、このような方のために機械学習のための数学の基礎の基礎である平方根と累乗根についてまとめました。

 

この記事を書いている僕はシステムエンジニア6年目

 

普段はJavaでWebアプリを作ったりSQL書いたり・・・、

なので最近流行りのPython、数学、人工知能、デープラーニングができる人には正直憧れています。。。。

 

 

自分も一から勉強してこの辺りできるようになりたい、、画像認識モデルを作ったりして、アプリに組み込みたい!

これが機械学習、深層学習の勉強を始めたきっかけでした。

 

 

体系的に、この分野の基礎から学ぼうとJDLAのG検定の勉強をして合格するところまでいきました。

次のステップとして、

実際にPythonでコードを書きながら機械学習や深層学習の知識を深めようと考え、これら買って勉強してみたのですが、、、

 

 

学生時代に勉強したはずの数学を忘れてしまっていて、機械学習の勉強以前にでつまずきました。。。

 

今回は、機械学習とディープラーニングの勉強をしていて、

復習が必要と感じた部分、抑えておくべきと感じた数学の基礎である平方根と累乗根についてまとめてみました。

 

 

平方根と累乗根

 

平方根の定義と公式

いきなりですが、\( 25m^2\)の正方形の1辺の長さを計算してみてください。

 

正方形の面積は1辺の長さの2乗なので、\( 5m\)ですよね。

このように、2乗したら\( a\)(上の例だと\( 25m^2\))になる数(上の例だと\( 5m\))を\( a\)の平方根といいます。

【定義】

数\( a\)に対して、\( a = b^2\)を満たす\( b\)を\( a\)の平方根という。

 

実数では、正の数の平方根は必ず2つ(正の平方根と負の平方根)存在する。

 

次は、3の平方根を求めてみます。

しかし、上の面積の例のように計算できません。

整数や少数、分数では3の平方根を正確な値で表せないのです。

 

この場合、3の平方根は\( \sqrt{_}\)を用いて、正の平方根を\( \sqrt{3}\)、負の平方根を\( -\sqrt{3}\)と表します。

 

また、2つまとめて\( \pm\sqrt{3}\)と表すこともできます。

 

【公式】

以下\( a > 0\)、\( b > 0\)、\( c > 0\)とする。

 

①\( \sqrt{a^{2}} = a\)

 

②\( a \times \sqrt{b} = a\sqrt{b}\)

 

③\( b\sqrt{a} + c\sqrt{a} = (b + c)\sqrt{a}\)

 

④\( \sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}\)

 

⑤\( \sqrt{a} \div \sqrt{c} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{c}} = \sqrt{\frac{a}{c}} \)

 

⑥\( \sqrt{a^2 \times b} = a\sqrt{b} \)

 

平方根の計算練習

平方根の定義と公式を確認したので、

実際に計算する練習をしてみましょう。

 

❶9の平方根を求める

 

\( 2\)乗すると\( 9\)になる数は・・・

 

\( 3^{2} = 9 \)、\( (-3)^{2} = 9 \)

なので答えは

 

A.\( 3\)、\( -3\)

 

❷\( \sqrt{18} + \sqrt{2}\)を計算する

 

\(= \sqrt{2 \times 9} + \sqrt{2}\)

\(= \sqrt{2 \times 3^{2}} + \sqrt{2}\)

 

ここで公式⑥を利用して

\(= 3\sqrt{2} + \sqrt{2}\)

 

次は公式③を利用して

\(= 3\sqrt{2} + \sqrt{2} = 4\sqrt{2}\)

 

A.\(4\sqrt{2}\)

 

❸\( 3\sqrt{6} \times 2\sqrt{2}\)を計算する

 

まず、整数部分を計算して

\(= 6\sqrt{6}\sqrt{2}\)

 

次に公式④を利用して

\(= 6\sqrt{12}\)

 

ここで終わりではないんです。。。

 

\(= 6\sqrt{4 \times 3}\)

\(= 6\sqrt{2^{2} \times 3}\)

 

公式⑥を利用して

\(= 6 \times 2\sqrt{3}\)

\(= 12\sqrt{3}\)

A.\(12\sqrt{3}\)

 

 

累乗と累乗根

累乗は、

例えば2の2乗(\(2^{2} = 2 \times 2 = 4\))で2を2個掛ける、

2の3乗(\(2^{3} = 2 \times 2 \times 2 = 8\))で2を3個掛けるなど、

 

\( a \)を\(p\)個掛ける\(a\)の\(p\)乗(\(a^{p}\))と表現する数学的な表現です。

この時の\(a\)を、\(p\)を指数といいます。

 

累乗根とは、

\(p\)乗すると\(a\)になる数を\(a\)の\(p\)乗根といい、\(\sqrt[p]{a}\)と書きます。

 

例えば、\(2 \times 2 \times 2 = 8\)なので\(\sqrt[3]{8} = 2\)となり、「2は8の3乗根」といいます。

 

2乗根は平方根ともいい、\(\sqrt[2]{a}\)の2を省略して\(\sqrt{a}\)と書きます。

【公式】

以下\( a > 0\)、\( b > 0\)とする。

 

①\( a^0 = 1\)

 

②\( a^{p}a^{q} = a^{p + q}\)

 

③\( (a^{p})^{q} = a^{pq}\)

 

④\( (ab)^{p} = a^{p}b^{p}\)

 

⑤\( (a)^{-p} = \frac{1}{a^{p}}\)

 

⑥\( \sqrt[p]{a}\sqrt[p]{b} = \sqrt[p]{ab}\)

 

⑦\( \sqrt[p]{\sqrt[q]{a}} = \sqrt[pq]{a}\)

 

⑧\( \sqrt[p]{a} = a^{\frac{1}{p}}\)

 

累乗根の計算練習

累乗根の定義と公式を確認したので、

実際に計算する練習をしてみましょう。

❶\( 4^{4} \times 2^{-1} \div 2^{2} \)を計算する

 

まず、公式⑤を利用して割り算を掛け算して

\( = 4^{4} \times 2^{-1} \times 2^{-2} \)

 

底を揃えていきます

\( = (2^{2})^{4} \times 2^{-1} \times 2^{-2} \)

 

公式③を利用して

\( = 2^{8} \times 2^{-1} \times 2^{-2} \)

 

底が揃ったので公式②を利用して

\( = 2^{(8-1-2)} = 2^{5} = 32\)

 

A.32

 

❷\( \sqrt[3]{81} \times \sqrt[3]{9} \)を計算する

 

公式⑧を利用して底を揃えていきます。

\( = 81^{\frac{1}{3}} \times 9^{\frac{1}{3}} \)

\( = (3^{4})^{\frac{1}{3}} \times (3^{2})^{\frac{1}{3}} \)

\( = 3^{\frac{4}{3}} \times 3^{\frac{2}{3}} \)

 

②の公式を利用して

\( = 3^{\frac{4}{3} + \frac{2}{3}}\)

\( = 3^{\frac{6}{3}} = 3^{2} = 9\)

A.9

 

❸\( \sqrt[3]{\sqrt{64}}\)を計算する

 

\( = \sqrt[3]{\sqrt[2]{64}}\)

 

公式⑦を利用して

\( = \sqrt[6]{64}\)

\( = 64^{\frac{1}{6}}\)

\( = (2^{6})^{\frac{1}{6}}\)

 

公式③を利用して

\( = 2^{6 \times \frac{1}{6}}\)

\( = 2^{1} = 2\)

A.2

 

 

まとめ

 

ということで、今回は平方根と累乗根ついて確認しました。

この辺りは抑えておきましょう。

 

  • 2乗したら元の数になる値のことを、元の数の平方根という。
  • \( \sqrt{_}\)という記号で平方根を表す。

 

機械学習やディープラーニングの教材に出てくる数式には、

頻繁にこれらが出てきます。

 

このせいで自分は何度も数式を理解しようとするのを断念しそうになりました、、

 

平方根と累乗根の計算ができるレベルまでにしておきましょう!

 

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