機械学習のための数学基礎の基礎まとめ【指数や対数の公式に慣れる】

この記事を読むのに必要な時間は約 13 分です。

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最近激アツな人工知能、機械学習、ディープラーニングを勉強しよう!!!

 

 

でも、結局数学の知識が足りず、数式の意味が分からず付いていけなくなり妥協してしまった。。。。

 

特に指数と対数の公式が出てくると全く付いていけない、

 

 

 

今回は、このような方のために対数や指数の公式を具体例で確認し、

 

また、対数の公式を指数の公式を利用して証明しながら

 

指数と対数の関係や式の変換に慣れていきたいと思います。

 

 

この記事を書いている僕はシステムエンジニア6年目

 

普段はJavaでWebアプリを作ったりSQL書いたり・・・、

なので最近流行りのPython、数学、人工知能、デープラーニングができる人には正直憧れています。。。。

 

 

自分も一から勉強してこの辺りできるようになりたい、、画像認識モデルを作ったりして、アプリに組み込みたい!

これが機械学習、深層学習の勉強を始めたきっかけでした。

 

 

体系的に、この分野の基礎から学ぼうとJDLAのG検定の勉強をして合格するところまでいきました。

次のステップとして、

実際にPythonでコードを書きながら機械学習や深層学習の知識を深めようと考え、これら買って勉強してみたのですが、、、

 

 

学生時代に勉強したはずの数学を忘れてしまっていて、機械学習の勉強以前にでつまずきました。。。

 

特に指数と対数の式が出てくると全く付いていけなくなることが多かったです。

(急にある式の対数を取ったり、指数や対数の式が変換されていくと。。。お手上げ、、)

 

今回は指数と対数の関係や式の変換に慣れるため、

それぞれの公式を具体例を挙げながら確認したり、

公式を証明する練習をしてみます。

 

これができるようになれば、

機械学習の参考書に出てくる指数や対数の数式が少しは理解やイメージしやすくなります。

 

 

指数の公式を具体例で確認

 

 

 

指数の復習

指数は\( a^{2} = a \times a \)、\( a^{3} = a \times a \times a\)のように\( a \)を何回か掛けたものをいいます。

掛ける回数を右肩に付けて、これを指数といいます。

 

 

指数の基礎については以下の記事にまとめてあります。

参考にして復習してみてください。

機械学習のための数学基礎の基礎まとめ【平方根と累乗根】

 

 

 

 

指数の公式を具体例で確認

機械学習の参考書では当たり前のように指数の公式が出てきて、式が変換されます。。。

指数の公式には慣れておきましょう!

 

 

指数には以下のような公式があります。

\( a^{p}a^{q} = a ^{p + q}\)

 例)\( a^{5}a^{3} = a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \times a \cdot a \cdot a = a^{5 + 3} = a^{8}\)

 

\( a^{p} \div a^{q} = a ^{p – q}\)

 例)\( a^{5} \div a^{3} = \frac{a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a} {a \cdot a \cdot a} = a^{5 – 3} = a^{2}\)

 

\( (a^{p})^{q} = a ^{pq}\)

 例)\( (a^{3})^{2} = a \cdot a \cdot a \times a \cdot a \cdot a = a^{3 \times 2} = a^{6}\)

 

\( (a^{0}) = 1\)

 例)\( a^{3} \div a^{3} = a^{3-3} = a^{0} = \frac{a \cdot a \cdot a}{a \cdot a \cdot a} = 1 \)

 

\( (a^{-p}) = \frac{1}{a^{p}}\)

 例)\( a^{-3} = \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{a} = \frac{1}{a^{3}}\)

 

指数は実際に例を挙げて考えると公式のイメージは付きやすいと思います。

 

 

対数の公式を指数で証明しながら確認

 

 

 

対数の復習

指数と対数の関係は・・・

\( a^{y} = x \) ⇔ \( y = \log_{a}{x} \)

 

\( x = a^{y} \)のとき、\(y \)を\(x \)で表したいときに、

\(\log \)を使って\(y = \log_{a}x \)という関数を使います。

 

対数の基礎については以下の記事にまとめてあります。

参考にして復習してみてください。

機械学習のための数学基礎の基礎まとめ【指数関数と対数関数】

 

 

対数の公式を指数の公式を使って証明

次に、

対数の公式を、指数と対数の関係や、指数の公式を使いながら証明する練習をしていきます。

 

機械学習の参考書では指数や対数の公式やそれらを使った式の変換はよく出ますので、

苦手な方は良い練習になると思います。

 

\( \log_{a}1 = 0\)

証明)

\( a^{0} = 1\)なので\( log_{a}1 = 0\)が成立する

 

\( \log_{a}a = 1\)

証明)

\( a^{1} = a\)なので\( log_{a}a = 1\)が成立する

 

\( \log_{a}XY = \log_{a}X + \log_{a}Y\)

証明)

\( a^{p} = X\)、\( a^{q} = Y\)とする・・・(1)

\(XY = a^{p} \cdot a^{q} = a^{p + q}\)

底\(a\)の対数を取ると

\(\log_{a}{XY} = log_{a}a^{p + q} = p + q\)・・・(2)

(1)より\(p = \log_{a}X \)、\(q = \log_{a}Y \)、(2)に代入すると

\( \log_{a}XY = \log_{a}X + \log_{a}Y\)

 

\( \log_{a}\frac{X}{Y} = \log_{a}X – \log_{a}Y\)

証明)

\( a^{p} = X\)、\( a^{q} = Y\)とする・・・(1)

\(\frac{X}{Y} = a^{p} \div a^{q} = a^{p – q}\)

底\(a\)の対数を取ると

\(\log_{a}{\frac{X}{Y}} = \log_{a}a^{p – q} = p – q\)・・・(2)

(1)より\(p = \log_{a}X \)、\(q = \log_{a}Y \)、(2)に代入すると

\( \log_{a}\frac{X}{Y} = \log_{a}X – \log_{a}Y\)

 

\( \log_{a}{X^{p}} = p\log_{a}X\)

証明)\( a^{r} = X\)とする・・・(1)

\(a^{rp} = X^{p}\)

底\(a\)の対数を取ると

\(\log_{a}{a^{rp}} = rp = log_{a}X^{p}\)・・・(2)

(1)より\(r = \log_{a}X \)となり、(2)に代入すると

\( p\log_{a}{X} = \log_{a}X^{p}\)

 

\( a^{\log_{a}{b}} = b\)

証明1)

\( \log_{a}{b} = \log_{a}{b}\)

\( a^{y} = x\) ⇔ \( \log_a^{x} = y\)を利用して

\( a^{\log_{a}{b}} = b\)

 

証明2)

底\(a\)の対数を取ると

\( \log_{a}{a^{\log_{a}{b}}} = \log_{a}{b}\)

\( \log_{a}{b} \cdot \log_{a}{a} = \log_{a}{b}\)

\( \log_{a}{b} \cdot 1 = \log_{a}{b}\)

両辺は等しいので、元の式も等しい

\( a^{\log_{a}{b}} = b\)

 

\( \log_{a}{X} = \frac{\log_{c}{X}}{\log_{c}{a}}\)(\( c > 0\)、\( c \neq 0\))

証明)

\( \log_{a}{X} = r\)・・・(1)とおくと\( a^{r} = X\)が成り立つ

底\(c\)の対数を取ると

\( \log_{c}{a^{r}} = \log_c{X}\)

\( r\log_{c}{a} = \log_c{X}\)

\( r = \frac{\log_c{X}}{\log_{c}{a}}\)

(1)を代入すると

\( \log_{a}{X} = \frac{\log_c{X}}{\log_{c}{a}}\)

 

 

 

まとめ

 

 

ということで、今回は指数と対数の公式を確認しながら、

指数と対数の関係を確認し、式の変換の練習を行いました。

 

 

特に対数の公式を証明していくと、指数と対数の関係、指数の公式を使うので、

少し指数と対数に慣れることができたと思います。

 

自分はこの練習をすることで、

少し機械学習の参考書に出てくる指数や対数の数式が読みやすく、イメージしやすくなりました。

 

次は数列、微分あたりを勉強をしなければ。。。

 

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